一个特殊四面体的性质探究

由正四面体的性质，运用联想类比的思想方法来探求直角四面体的性质。所谓直角四面体就是有一个三面角的各个面角都是直角的四面体。如图，四面体OABC在点O处的三个面角都是直角。所以四面体OABC是直角四面体。

直角四面体的性质：

① 直角四面体的对棱互相垂直.

证明：如图OB ⊥ OC，OB ⊥ OA。

OB ⊥ 平面OAC， 又

，同理可得:

直角四面体的对棱互相垂直.

② 二面角A-OB-C、二面角A-OC-B、二面角B-OA-C都是直二面角.

证明：由（1）得OB ⊥ 平面OAC，

∠AOC是二面角A-OB-C的平面角，即二面角A-OB-C是直二面角。

同理可得:OC ⊥ 平面OAB，二面角A-OC-B是直二面角，

         OD ⊥ 平面OBC，二面角B-OA-C是直二面角。

③ 直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心.

证明：连结，并延长交于，连结

由三垂线定理的逆定理得

同理，

④ S²_△BOC=S_△BHC·S_△ABC

证明：   

⑤ .

证明：

         即

      同理，在

⑥ 不含直角的底面ABC是锐角三角形.

证明：设OA = a，OB = b，OC = c，则

      ，，，

      在中，由余弦定理得

      ，

所以∠BAC是锐角.同理可得∠ABC、∠ACB是锐角，所以△ABC是锐角三角形.

⑦ S²_△BOC+S²△_△AOB+S²_△AOC=S²_△ABC（底面面积S_△ABC=）

证明：由（6）得：

⑧ 体积 V=.

证明：

⑨ 外接球半径 R=.

如图所示，以点O为长方体的一个顶点，OA、OB、OC为长方体的三棱作长方体OBEC-AFGH，则四面体OABC的外接球也是长方体OBEC-AFGH的外接球.设四面体OABC的外接球半径是R，则.

⑩ 内切球半径r=

设△OAB的面积是S₁，△OAC的面积是S₂，△OBC的面积是S₃，△ABC的面积是S₄，则

                      ， ， ，

由⑦得: .

由等体积原理得:

所以,内切球半径 r=

本文探究了直角四面体的一些有趣、优美的特性。在以后的学习中我们要学会挖掘一些特殊几何体的性质，以拓宽我们的数学思维。